碰撞冲量和相对速度定义

在构建物理引擎时，碰撞响应（Collision Resolution）是最核心的模块之一。而碰撞响应的核心，就是求解冲量标量 $j$。本文将从第一性原理出发，一步步推导 $j$ 的公式，并深入探讨容易被忽视的相对速度定义及其对仿真稳定性的影响。

1. 问题的定义

假设有两个刚体 $A$ 和 $B$ 在世界空间发生碰撞。

• 碰撞点：$\mathbf{P}$
• 碰撞法线：$\mathbf{n}$（定义为从 $B$ 指向 $A$ 的单位向量）
• 质心到碰撞点的向量：${\mathbf{r}}_a=\mathbf{P}-{\mathbf{C}}_a$，${\mathbf{r}}_b=\mathbf{P}-{\mathbf{C}}_b$
• 线速度与角速度：${\mathbf{v}}_a,{\omega }_a$ 和 ${\mathbf{v}}_b,{\omega }_b$

我们的目标是找到一个冲量标量 $j$，当它作用于碰撞点时，能够改变两个物体的速度，使得它们在碰撞后的相对速度符合牛顿碰撞定律。

2. 关键：相对速度的定义

相对速度的定义决定了后续所有公式的符号。为了与工业级引擎（如 Bullet, Box2D）保持一致，我们定义碰撞点处的相对速度 ${\mathbf{v}}_{rel}$ 为：

$${\mathbf{v}}_{rel}={\mathbf{v}}_{pa}-{\mathbf{v}}_{pb}$$

其中，碰撞点在物体上的速度公式为： $${\mathbf{v}}_{pa}={\mathbf{v}}_a+{\omega }_a\times {\mathbf{r}}_a$$ $${\mathbf{v}}_{pb}={\mathbf{v}}_b+{\omega }_b\times {\mathbf{r}}_b$$

为什么这样定义？

当 ${\mathbf{v}}_{rel}\cdot \mathbf{n}<0$ 时，意味着两个物体正在相互靠近（接近速度为负）；当 ${\mathbf{v}}_{rel}\cdot \mathbf{n}>0$ 时，意味着物体正在相互远离。

3. 物理约束：牛顿碰撞定律

碰撞后的相对速度 ${\mathbf{v}}_{rel}^{+}$ 与碰撞前的相对速度 ${\mathbf{v}}_{rel}^{-}$ 满足以下关系：

$${\mathbf{v}}_{rel}^{+}\cdot \mathbf{n}=-e({\mathbf{v}}_{rel}^{-}\cdot \mathbf{n})$$

其中 $e$ 是恢复系数（Restitution）。这是我们求解 $j$ 的唯一方程。

4. 冲量对速度的影响

根据冲量定理，施加冲量 $\mathbf{J}=j\mathbf{n}$ 后，物体的速度变化为：

对于物体 A（受力方向为 $+\mathbf{n}$）： $$\Delta {\mathbf{v}}_a=\frac{j\mathbf{n}}{m_a}$$ $$\Delta {\omega }_a={\mathbf{I}}_a^{-1}({\mathbf{r}}_a\times j\mathbf{n})$$

对于物体 B（受力方向为 $-\mathbf{n}$）： $$\Delta {\mathbf{v}}_b=-\frac{j\mathbf{n}}{m_b}$$ $$\Delta {\omega }_b={\mathbf{I}}_b^{-1}({\mathbf{r}}_b\times -j\mathbf{n})$$

5. 核心推导步骤

我们将碰撞后的相对速度展开： $${\mathbf{v}}_{rel}^{+}=({\mathbf{v}}_a^{+}+{\omega }_a^{+}\times {\mathbf{r}}_a)-({\mathbf{v}}_b^{+}+{\omega }_b^{+}\times {\mathbf{r}}_b)$$

代入速度变化公式 ${\mathbf{v}}^{+}={\mathbf{v}}^{-}+\Delta \mathbf{v}$： $${\mathbf{v}}_{rel}^{+}={\mathbf{v}}_{rel}^{-}+\left(\frac{j\mathbf{n}}{m_a}+({\mathbf{I}}_a^{-1}({\mathbf{r}}_a\times j\mathbf{n}))\times {\mathbf{r}}_a\right)-\left(-\frac{j\mathbf{n}}{m_b}+({\mathbf{I}}_b^{-1}({\mathbf{r}}_b\times -j\mathbf{n}))\times {\mathbf{r}}_b\right)$$

提取公因子 $j$： $${\mathbf{v}}_{rel}^{+}={\mathbf{v}}_{rel}^{-}+j\left[\frac{1}{m_a}+\frac{1}{m_b}+({\mathbf{I}}_a^{-1}({\mathbf{r}}_a\times \mathbf{n}))\times {\mathbf{r}}_a+({\mathbf{I}}_b^{-1}({\mathbf{r}}_b\times \mathbf{n}))\times {\mathbf{r}}_b\right]$$

现在，两边同时点乘法线 $\mathbf{n}$，并利用牛顿碰撞定律 ${\mathbf{v}}_{rel}^{+}\cdot \mathbf{n}=-e({\mathbf{v}}_{rel}^{-}\cdot \mathbf{n})$： $$-e({\mathbf{v}}_{rel}^{-}\cdot \mathbf{n})={\mathbf{v}}_{rel}^{-}\cdot \mathbf{n}+j\left[\frac{1}{m_a}+\frac{1}{m_b}+(({\mathbf{I}}_a^{-1}({\mathbf{r}}_a\times \mathbf{n}))\times {\mathbf{r}}_a)\cdot \mathbf{n}+(({\mathbf{I}}_b^{-1}({\mathbf{r}}_b\times \mathbf{n}))\times {\mathbf{r}}_b)\cdot \mathbf{n}\right]$$

6. 最终公式

整理上式，求得 $j$ 的标准公式：

$$j=\frac{-(1+e)({\mathbf{v}}_{rel}^{-}\cdot \mathbf{n})}{\frac{1}{m_a}+\frac{1}{m_b}+[({\mathbf{I}}_a^{-1}({\mathbf{r}}_a\times \mathbf{n}))\times {\mathbf{r}}_a]\cdot \mathbf{n}+[({\mathbf{I}}_b^{-1}({\mathbf{r}}_b\times \mathbf{n}))\times {\mathbf{r}}_b]\cdot \mathbf{n}}$$

对比关于《Game Physics in One Weekend》

在《Game Physics in One Weekend》的代码实现中，你会发现分子没有负号。这是因为该书将法线定义为“从 A 指向 B”，且在应用冲量时手动反转了符号。 建议：在实际工程中，务必采用上述标准推导。标准推导保证了只要物体在靠近（点积为负），算出的 $j$ 就一定是正数，这符合物理直觉，也方便后续处理摩擦力不等式约束。