数学工具
向量
向量是物理引擎中最基本的数据结构，用于表示具有大小和方向的物理量，如位置、速度和力。一个三维向量通常表示为 。
核心的向量运算包括：
点积在物理引擎中的常见应用包括：计算两个向量之间的夹角、判断两个向量是否正交（点积为零）、计算一个向量在某方向上的分量。
叉积很多地方会使用，例如和角动量等物理量时至关重要。
3x3旋转矩阵
3x3矩阵主要用于表示旋转和惯性张量。一个绕任意轴旋转角度的旋转矩阵，可以用罗德里格斯公式（Rodrigues’ Rotation Formula）表示：
其中是向量的反对称矩阵（Skew-Symmetric Matrix）：
旋转矩阵具有正交性，即，且行列式为1。
4x4变换矩阵
4x4矩阵用于表示一个完整的仿射变换，包含旋转和平移。其一般形式为：
其中是3x3旋转矩阵，是平移向量。这种矩阵在与图形API（如OpenGL或Direct3D）交互时尤其有用，因为它可以直接传递给着色器来变换顶点。
四元数(Quaternions)
虽然旋转矩阵可以表示旋转，但在实际应用中，直接使用矩阵进行旋转插值或连续旋转累加会遇到问题，例如万向锁（Gimbal Lock）。四元数，提供了一种更优雅、更高效的旋转表示方法。
一个四元数可以写为
或简写为 其中是标量部分，是向量部分。
一个绕单位轴旋转角度的旋转可以用单位四元数表示为：
使用四元数旋转一个向量的公式为：
其中被视为纯四元数，是的逆。对于单位四元数，其逆等于共轭。
惯性张量
对于点质量，惯性由标量质量描述。但对于具有体积和形状的刚体（Rigid Body），其对旋转运动的“阻力”不仅取决于质量，还取决于质量如何围绕旋转轴分布。这种分布特性由一个3x3的对称矩阵——惯性张量来描述。
惯性张量的一般形式为：
其中对角线元素是转动惯量（Moments of Inertia），非对角线元素是惯性积（Products of Inertia）。对于连续质量分布，这些元素的定义为：
惯性张量建立了角动量（）和角速度（）之间的线性关系：
它也出现在旋转动力学的牛顿第二定律的旋转版本中（欧拉方程）：
在物体的主轴（Principal Axes）坐标系下，惯性张量可以简化为一个对角矩阵：
其中 , , 是主转动惯量。计算和正确使用惯性张量是实现逼真刚体旋转动力学的关键。物理引擎通常会提供自动计算常见几何形状（如球体、长方体、圆柱体）惯性张量的功能。