拉格朗日乘子法

在物理模拟、分析力学、优化问题中，我们经常会遇到一种情形：系统的运动或解，不仅要满足动力学规律，还必须同时满足某些约束条件。 比如：

• 质点必须在曲面上运动
• 刚体之间不能互相穿透
• 铰链关节只能允许某些方向的相对运动

这些问题的核心并不在于“力怎么写”，而在于：如何在不破坏原有方程结构的前提下，把约束条件系统性地加入进来？拉格朗日乘子法，正是为了解决这个问题而诞生的。

带约束的极值

先从最简单、也是最经典的形式出发。假设我们要极小化一个函数:

$$f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$$

变量不能随便取，而必须满足一个约束条件：

$$g(x_1,x_2,\dots ,x_n)=0$$

这是一个带等式约束的极值问题。如果没有约束，我们只需要

$$\nabla f=0$$

但现在不行了，因为允许的变化方向被“限制”在约束曲面上。

乘子的含义

在极值点处，函数$f$在约束曲面上的切向变化为零。约束$g=0$定义了一张曲面，其中曲面的法向量是$\nabla g$，所有合法的变化方向都与$\nabla g$正交。

如果在该点上$f$沿所有合法方向都不再变化，那么$\nabla f$只能指向法向方向。于是必然存在一个标量$\lambda$,使得：

$$\nabla f=\lambda \nabla g$$

这就是拉格朗日乘子条件。这里$\lambda$是拉格朗乘子，本质是一个“比例系数”，用来描述为了满足约束，目标函数付出的代价。