积分方法

在游戏物理引擎中，积分方法用于将连续的力学方程离散化，是物体每个时间步内更新位置和速度。根据模拟的稳定性、精度和性能，选择不同的积分方法。

显式欧拉

显式欧拉（Explicit Euler）是最基础的积分方法，其核心思想是用当前的速度和加速度直接预测下一帧的位置和速度。公式如下： $${\mathbf{v}}_{i+1}={\mathbf{v}}_i+\Delta t\cdot {\mathbf{a}}_i$$

$${\mathbf{x}}_{i+1}={\mathbf{x}}_i+\Delta t\cdot {\mathbf{v}}_i$$ 其中，$\mathbf{v}$是速度，$\mathbf{x}$是位置，$\mathbf{a}$是加速度，$\Delta t$是时间步长。

这种方法计算简单，开销低。当时间步长过大或者系统刚体较强时，容易出现不稳定，导致能量发散或者物体穿透。

隐式欧拉

隐式欧拉（Implicit / Backward Euler）与显式欧拉不同，它使用下一帧未知状态的加速度进行积分，从而提高数值稳定性。公式如下：

$${\mathbf{v}}_{i+1}={\mathbf{v}}_i+\Delta t\cdot {\mathbf{a}}_{i+1}$$

$${\mathbf{x}}_{i+1}={\mathbf{x}}_i+\Delta t\cdot {\mathbf{v}}_{i+1}$$

稳定性高，即使大时间步也不会发散。可以处理刚性系统，例如柔体、流体和复杂约束。计算量相对较大，需要求解线性方程组。在游戏物理引擎中，主要用柔体和流体模拟。刚体不用隐式欧拉，通常用西面半隐式欧拉方法，兼顾稳定性和性能。

半隐式欧拉

半隐式欧拉（Semi-implicit / Symplectic Euler）结合了显式和隐式的特点，是游戏物理中最常用的方法之一。

$${\mathbf{v}}_{i+1}={\mathbf{v}}_i+\Delta t\cdot {\mathbf{a}}_i$$

$${\mathbf{x}}_{i+1}={\mathbf{x}}_i+\Delta t\cdot {\mathbf{v}}_{i+1}$$

与隐式欧拉区别是，位置更新使用的是更新后的速度，而不是当前速度。相比显式欧拉更稳定，能量不易发散。计算量低，实时性能好，广泛用在刚体模拟、角色控制器、布料约束等。几乎所有主流游戏引擎的刚体子系统（包括 Bullet、Unity、Unreal）都使用半隐式欧拉作为默认的积分方法。

Verlet积分

Verlet 积分是基于位置的积分方法，不直接使用速度，而是利用当前和上一帧的位置及加速度更新下一帧位置。核心公式：

$${\mathbf{x}}_{i+1}=2{\mathbf{x}}_i-{\mathbf{x}}_{i-1}+{\mathbf{a}}_i\Delta t^2$$

速度通过差分近似得到： $${\mathbf{v}}_t=\frac{{\mathbf{x}}_i-{\mathbf{x}}_{i-1}}{\Delta t}$$

在物理引擎中，常用于粒子系统、布料模拟和柔体系统，适合PBD使用。

Runge-Kutta积分

Runge-Kutta 积分是一类高阶积分方法，通过多次估计加速度来提高数值精度。最常用的是二阶（RK2）和四阶（RK4）方法。 例如 RK4 方法：

$${\mathbf{x}}_{i+1}={\mathbf{x}}_i+\frac{\Delta t}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$$

其中$k_i$是对不同时间点加速度的加权估计。精度高，震荡小。适合刚体、粒子系统、流体的精确模拟。计算量大，实时性能低。在物理引擎中，游戏中实时刚体很少使用，但在布料或粒子模拟的高精度子系统中可能用到。