虚位移和虚功

虚位移

在牛顿力学中，我们习惯于观察物体随时间发生的实位移（Real Displacement）。然而，在处理受限系统时，实位移往往受到约束和时间的双重影响。为了隔离约束的影响，我们引入“虚位移”的概念。

虚位移（记作 $\delta \mathbf{r}$）是指在某一特定时刻，系统在满足当前约束条件下，可能发生的任意无穷小位置改变。与实位移最大区别：实位移 $d\mathbf{r}$ 发生在一段时间 $dt$ 内；虚位移 $\delta \mathbf{r}$ 是瞬时的，即在 $\delta t=0$ 的假想状态下发生。实位移是物体实际走过的路径；虚位移是逻辑上可能发生的路径，只要它不违反约束。

例，想象一个被限制在水平桌面上的质点。实位移可能包含由于桌面移动（如果桌面在升降）带来的垂直分量。虚位移则只能是在该时刻，平行于桌面的任意方向。

理想约束

有了虚位移的概念，我们就可以定义虚功（Virtual Work）：力在虚位移上所做的功。在大多数游戏物理引擎（如 Box2D, PhysX）中，我们假设约束是理想约束（Ideal Constraints）。理想约束的一个关键特性是：约束力（Constraint Force）所做的虚功之和为零。数学表达为：

$$\sum _i{\mathbf{F}}_{c,i}\cdot \delta {\mathbf{r}}_i=0$$

其中 ${\mathbf{F}}_{c,i}$ 是作用在第 $i$ 个质点上的约束力。

虚功原理

对于一个处于平衡状态的系统，所有作用于系统的主动力（Active Forces，如重力、推力）在任何符合约束的虚位移中所做的虚功总和为零：

$$\delta W=\sum _i{\mathbf{F}}_{a,i}\cdot \delta {\mathbf{r}}_i=0$$

在动力学问题中，通过达朗贝尔原理（D’Alembert’s Principle），我们可以将惯性力 $-m\mathbf{a}$ 视为一种“力”，从而将动力学问题转化为静力学平衡问题：

$$\sum _i({\mathbf{F}}_{a,i}-m_i{\mathbf{a}}_i)\cdot \delta {\mathbf{r}}_i=0$$