接触生成与流形

当窄相碰撞检测算法（如SAT或GJK/EPA）报告两个物体发生碰撞，并给出了穿透深度和法线后，我们还需要一个至关重要的信息才能进行真实的物理响应：接触点 (Contact Points)。一个单一的穿透向量不足以描述复杂的接触情况，例如一个箱子平放在地面上。在这种情况下，接触实际上发生在整个底面上，而不仅仅是一个点。为了稳定地模拟这种平面、线或多点接触，现代物理引擎引入了接触流形 (Contact Manifold) 的概念。

接触流形是一个数据结构，它封装了两个物体之间一次完整接触的所有几何信息。它不仅包含了一到多个接触点，还负责在连续的几个时间步内追踪和更新这些接触点，以实现稳定、平滑的碰撞响应和摩擦效果。

为什么单点接触不够？

想象一个长方形箱子落在平坦的地面上。在理想情况下，它们应该在箱子底部的四个角都产生接触。如果我们只使用由EPA等算法计算出的单一最深穿透点作为接触点，会发生什么？

不稳定和抖动: 引擎会在该点施加一个分离冲量。由于冲量作用点可能不在质心正下方，这会产生一个力矩，导致箱子轻微旋转。在下一帧，箱子的另一个角可能会成为最深穿透点，引擎又在该点施加冲量，导致箱子向反方向旋转。如此往复，箱子就会在地面上不停地抖动或摇摆，永远无法稳定地静止下来。
不真实的摩擦: 摩擦力的计算与法向力（正压力）密切相关。如果只有一个接触点，我们就无法模拟出分布在整个接触面上的、能抵抗旋转的摩擦力矩。

接触流形 (Contact Manifold)

为了解决这些问题，我们引入接触流形。对于每一对发生碰撞的物体，我们都创建一个接触流形来描述它们之间的交互。这个数据结构通常包含：

接触点数组: 通常是一个包含1到4个接触点的小数组。4个点足以稳定地表示任何两个凸体之间的平面接触。
接触法线 (Normal): 描述接触面的方向。
参与的物体: 指向两个碰撞物体的指针。
摩擦与恢复系数: 用于该次接触的综合物理参数。

每个接触点自身也是一个结构体，包含：

世界空间位置 (Position): 接触点在世界坐标系中的位置。
局部空间位置 (Local Position): 接触点在两个物体各自局部坐标系中的位置。
穿透深度 (Penetration Depth): 该点的穿透深度。
法向冲量累积 (Normal Impulse): 在求解器中累积的用于分离的冲量。
切向冲量累积 (Tangent Impulse): 用于摩擦的冲量。
生命周期 (Lifetime): 用于追踪该接触点持续了多少个时间步。

流形的生命周期管理

接触流形的强大之处在于它的时间相干性。在一个时间步结束时，我们不清空所有接触信息，而是尝试将它们“缓存”到下一帧。

更新: 在新的一帧，对于上一帧就存在的物体对，我们不创建新的流形，而是更新旧的流形。我们根据物体的运动变换旧的接触点位置，并检查它们是否仍然有效（例如，是否还在物体表面附近）。
添加: 计算新的接触点，并与流形中已有的点进行比较。如果是一个真正的新接触点，就将其加入流形。如果流形已满（例如，已有4个点），则需要根据某种策略（如保留最深的点，或保留能形成最大接触面积的点）来替换掉一个旧点。
移除: 如果一个旧的接触点在新的一帧中已经分离，或者距离新的接触位置太远，就将其从流形中移除。

通过这种方式，一个稳定的接触（如箱子在地面上）其接触流形中的点会保持相对稳定，这使得求解器可以累积冲量，从而让物体平稳地静止下来。这就是所谓的**“暖启动” (Warm Starting)**，它是实现高性能、高稳定性物理引擎的关键技术。

接触点的生成算法

如何从两个重叠的凸体中计算出合理的多个接触点呢？

1. 特殊形状对

对于球体、胶囊体等，接触点可以直接解析计算，通常只有一个或两个点。

2. 多边形-多边形接触：裁剪 (Clipping)

对于两个凸多面体（例如，两个方块）的接触，最经典和鲁棒的方法是Sutherland-Hodgman 裁剪算法。

思想： 当一个物体（称为“入射体”，Incident Body）的一个面与另一个物体（称为“参考体”，Reference Body）的一个面发生碰撞时，真实的接触区域是这两个面在空间中重叠的部分。我们可以通过用参考体的侧面（由参考面的边和接触法线构成的平面）去“裁剪”入射体的面来得到这个接触区域。

算法流程 (面-面接触):

确定参考面和入射面: 首先，需要确定哪个是参考面，哪个是入射面。一个常见的启发式规则是：选择在接触法线方向上“最不陡峭”或“最垂直”于法线的那个面作为参考面。
获取入射面的顶点: 得到入射面的所有顶点，构成一个多边形。
构建裁剪平面: 参考面的每一条边，都与接触法线一起定义了一个裁剪平面。这些平面构成了参考面所在棱柱的侧面。
迭代裁剪: 依次使用每个裁剪平面去裁剪入射面多边形。Sutherland-Hodgman 算法一次处理一个裁剪平面，输入一个顶点列表，输出一个新的、被裁剪后的顶点列表。
输出接触点: 经过所有裁剪平面裁剪后，最终剩下的顶点就是位于两个物体内部的、代表真实接触区域的多边形顶点。我们还需要将这些点投影到接触平面上，并剔除掉那些穿透深度为正（即已经分离）的点。

代码示例 (裁剪伪代码):

std::vector<Point> clip(const std::vector<Point>& subjectPolygon, const Plane& clipPlane) {
    std::vector<Point> outputList;
    for (int i = 0; i < subjectPolygon.size(); ++i) {
        Point currentPoint = subjectPolygon[i];
        Point prevPoint = subjectPolygon[(i + subjectPolygon.size() - 1) % subjectPolygon.size()];

        // 测试当前点和前一个点相对于裁剪平面的位置
        float dist_curr = clipPlane.distanceTo(currentPoint);
        float dist_prev = clipPlane.distanceTo(prevPoint);

        if (dist_curr <= 0) { // 当前点在平面内侧
            if (dist_prev > 0) { // 前一个点在外侧，说明边与平面相交
                // 计算交点并加入输出
                outputList.add(intersection(prevPoint, currentPoint, clipPlane));
            }
            outputList.add(currentPoint); // 加入当前点
        } else if (dist_prev <= 0) { // 当前点在外侧，但前一个点在内侧
            // 计算交点并加入输出
            outputList.add(intersection(prevPoint, currentPoint, clipPlane));
        }
    }
    return outputList;
}

总结

接触生成与流形管理是连接碰撞检测和碰撞响应的关键桥梁，是实现稳定物理模拟的“幕后英雄”。它解决了单点接触带来的不稳定性问题，通过生成和追踪多个接触点，使得引擎能够稳健地处理平面接触（如堆叠）和复杂的摩擦现象。

虽然 GJK/EPA 等算法能告诉我们“是否”以及“多深”地碰撞了，但只有通过诸如 Sutherland-Hodgman 裁剪这样的接触生成算法，我们才能得到描述“如何”接触的丰富几何信息。对接触流形进行细致的生命周期管理，并利用“暖启动”技术，是现代高性能物理引擎实现稳定、高效和可信物理行为的核心秘诀。

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