群体行为模拟的原理、公式与应用
在现代游戏、虚拟现实和影视特效中，群体行为模拟是不可或缺的技术，用于模拟行人、动物、机器人、飞鸟甚至海洋生物的集体运动。其核心目标是：在保证个体自主性的同时，形成自然、协调、有组织的整体行为。
一、群体行为模拟的基本原理
群体行为模拟通常假设：
- 个体具有感知能力
- 每个个体能感知周围环境和邻居位置、速度等信息
- 局部规则驱动行为
- 个体只根据邻居状态作决策，而不依赖全局信息
- 简单规则产生复杂行为
- 小范围局部交互能在全局产生群体涌动、队形、避障等自然现象
常用的群体模型
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Boids 模型（Reynolds, 1987）
- 最经典的鸟群/鱼群模拟模型
- 核心思想：每个个体遵循三个局部规则：
- 分离（Separation） → 避免与邻居碰撞
- 对齐（Alignment） → 匹配邻居速度方向
- 聚合（Cohesion） → 移动到邻居中心
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社会力模型（Social Force Model）
- 主要用于行人模拟（Helbing & Molnar, 1995）
- 假设每个个体受到目标力、排斥力、吸引力等
- 使用物理力学形式求解运动
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基于网格或代理的模型（Cellular / Agent-Based）
- 空间离散化，将群体行为归约为有限状态机或规则表
- 易于与 AI 或路径规划结合
二、核心公式
1️⃣ Boids 模型公式
假设个体 (i) 的位置为 (\mathbf{p}_i)，速度为 (\mathbf{v}_i)。三个基本规则可以用向量公式表示：
- 分离（Separation）：
[ \mathbf{F}{\text{sep}} = -\sum{j \in N_i} (\mathbf{p}_j - \mathbf{p}_i) ]
- (N_i) 表示个体 (i) 的邻居集合
- 作用：远离过近邻居，避免碰撞
- 对齐（Alignment）：
[ \mathbf{F}{\text{align}} = \frac{1}{|N_i|}\sum{j \in N_i} \mathbf{v}_j - \mathbf{v}_i ]
- 作用：匹配邻居速度方向，形成队形
- 聚合（Cohesion）：
[ \mathbf{F}{\text{cohesion}} = \frac{1}{|N_i|}\sum{j \in N_i} (\mathbf{p}_j - \mathbf{p}_i) ]
- 作用：向邻居中心靠拢，保持群体整体性
总运动方向：
[ \mathbf{v}i(t+\Delta t) = \mathbf{v}i(t) + w_1 \mathbf{F}{\text{sep}} + w_2 \mathbf{F}{\text{align}} + w_3 \mathbf{F}_{\text{cohesion}} ]
[ \mathbf{p}_i(t+\Delta t) = \mathbf{p}_i(t) + \mathbf{v}_i(t+\Delta t)\Delta t ]
- (w_1, w_2, w_3) → 不同规则的权重，可调节群体行为风格
2️⃣ 社会力模型公式（行人模拟）
每个行人 (i) 的加速度由“社会力”控制：
[ m_i \frac{d\mathbf{v}i}{dt} = \mathbf{f}i^{\text{desire}} + \sum{j \neq i} \mathbf{f}{ij}^{\text{repulsion}} + \sum_{B} \mathbf{f}_{iB}^{\text{boundary}} ]
- (\mathbf{f}_i^{\text{desire}} = \frac{v_i^0 \mathbf{e}_i - \mathbf{v}_i}{\tau}) → 驱动个体朝目标速度移动
- (\mathbf{f}_{ij}^{\text{repulsion}}) → 防止碰撞的排斥力
- (\mathbf{f}_{iB}^{\text{boundary}}) → 墙壁或障碍物排斥
本质上把行人看作受力粒子，使用牛顿力学积分位置和速度
3️⃣ 邻居搜索优化公式
群体行为算法的性能瓶颈通常是邻居搜索：
- 距离判断：
[ N_i = { j \mid ||\mathbf{p}_i - \mathbf{p}_j|| < r } ]
- 优化策略：
- 空间划分（Grid / Hash）：只检查同格或邻近格
- 近邻列表（Verlet List / K-d Tree）：减少搜索次数
三、并行化策略
群体行为模拟高度适合并行：
-
个体独立计算：
- 位置、速度更新
- 三个 Boids 规则力计算
- CPU 多线程或 GPU 并行处理
-
邻居搜索优化：
- 空间哈希桶可以批量处理
- GPU compute shader 非常适合处理大量个体
并行化可以显著提升大规模群体（数千~数万）模拟性能。
四、应用场景
| 场景 | 应用示例 |
|---|---|
| 游戏 | 人群行走、敌人集群、鸟群/鱼群 |
| VR / AR | 虚拟城市行人模拟、观众行为 |
| 影视 | 动画电影中的大规模生物集群（如《狮子王》动物迁徙） |
| 机器人 | 多机器人协同路径规划、无人机编队 |
| 交通模拟 | 行人流、交通疏导策略分析 |
群体行为模拟不仅用于视觉效果，也用于行为分析和策略研究。
五、总结
- 核心思想：局部规则产生全局自然行为
- 主要模型：
- Boids → 鸟群/鱼群
- 社会力模型 → 行人/人群
- 基于代理的离散模型 → 简化 AI/策略模拟
- 数学公式：
- Boids：分离、对齐、聚合
- 社会力：目标力 + 排斥力 + 边界力
- 优化策略：
- 邻居搜索 → 空间划分/近邻表
- 并行计算 → CPU 多线程 / GPU 并行
- 应用广泛：
- 游戏、影视、VR/AR、机器人、交通模拟
群体行为模拟是“小规则 → 大系统行为”的典型例子，也是实时物理模拟中高度可并行的一类算法。