游戏物理公式总结

在讲解物理引擎工作原理前，我们快速复习一下相关的物理知识。在游戏开发中，物理模拟涉及很多方面，比如物体的碰撞，特效的粒子，液体，烟雾等。为了描述这些效果，我们通常基于不同的力学体系，下面简单介绍一下。

质点运动学（Particle Kinematics）

描述的对象用质点描述，质点无大小、无形状、不可旋转,仅描述运动轨迹，不考虑力的作用。在游戏中应用：特效粒子系统、动画轨迹等。物理量包括：

位置： $$\mathbf{x}(t)$$

速度: $$\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{x}}{dt}$$

加速度： $$\mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}}{dt}$$

质点动力学（Particle Dynamics）

描述对象是质点，不考虑旋转和形状影响，与质点运动学区别是考虑外力作用。通过牛顿第二定律更新状态，涉及的物理量包括：位置$\mathbf{x}$，速度$\mathbf{v}$，外力$\mathbf{F}$，质量$m$，加速度$\mathbf{a}$。游戏中，考虑重力、风力、弹簧的质点效果。

刚体动力学（Rigid Body Dynamics）

对象具有形状，但是不可变形。考虑旋转影响。通过线速度和角度描述运动状态。外力和力矩可以改变运动状态。可以描述碰撞和约束情况。在游戏中多数可交互的物体，例如角色、车辆、道具。

随时间可以变换的物理状态量：位置$\mathbf{x}$，姿态$\mathbf{q}$（四元数），线速度$\mathbf{v}$，角速度$\mathbf{\omega }$。

不随时间变化的物理量：质量$m$，碰撞形状，局域坐标下的惯性张量${\mathbf{I}}_{body}$。

由上面变量推导出其他变量：

线动量 $$\mathbf{p}=m\mathbf{v}$$

角动量 $$\mathbf{L}={\mathbf{I}}_{world}\mathbf{\omega }$$

线加速度和角加速度 $$\mathbf{a},\mathbf{\alpha }$$

主要涉及的方程：

平移运动： $$\mathbf{F}=m\mathbf{a},{\mathbf{x}}_{t+\Delta t}={\mathbf{x}}_t+\mathbf{v}\Delta t$$

旋转运动： $$\mathbf{\tau }={\mathbf{I}}_{world}\mathbf{\alpha },{\mathbf{q}}_{t+\Delta t}={\mathbf{q}}_t+\frac{1}{2}\mathbf{\omega }\otimes {\mathbf{q}}_t\Delta t$$

冲量改变速度和角速度： $${\mathbf{v}}_{new}=\mathbf{v}+\frac{\mathbf{J}}{m},{\mathbf{\omega }}_{new}=\mathbf{\omega }+{\mathbf{I}}^{-1}(\mathbf{r}\times \mathbf{J})$$

弹性体 / 柔体动力学（Deformable Body Dynamics）

对象通过网格来表示形变，通过内部应力和应变关系来改变运动状态。可模拟游戏中布料，绳子，果冻类软体角色和道具。主要涉及的物理量： 网格点$i$位置和速度 $${\mathbf{x}}_i,{\mathbf{v}}_i$$

内部应力$\mathbf{\sigma }$，弹性模量$E$、泊松比$\nu$。

使用的物理方程： $$\rho \frac{d^2\mathbf{x}}{d{t}^2}=\nabla \cdot \mathbf{\sigma }+{\mathbf{f}}_{ext}$$

流体力学（Fluid Dynamics）

研究对象为连续介质，通过速度场$\mathbf{v}(\mathbf{x},t)$、压力场$p(\mathbf{x},t)$和密度场$\rho (\mathbf{x},t)$来描述，通过下面微分方程进行求解。流体可以通过粒子和网格两种方法进行求解。在游戏中，液体和河流的模拟经常使用。 连续性方程： $$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf{v})=0$$

Navier-Stokes 方程： $$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\mathbf{v}\cdot \nabla \mathbf{v}\right)=-\nabla p+\mu {\nabla }^2\mathbf{v}+{\mathbf{f}}_{ext}$$

多体系统动力学（Multibody Dynamics）

多个刚体，通过关节和约束连接，组成一个系统。在系统的运动状态变化时，通过刚体动力学和约束求解器。主要涉及的物理量包含：刚体的状态量，约束位置和约束力，以及约束推导出的冲量$\lambda$。游戏中载具，连接的关节等。主要原理方程是： $$\mathbf{M}\dot{\mathbf{v}}+\mathbf{C}(\mathbf{v})={\mathbf{F}}_{ext}+{\mathbf{J}}^T\lambda$$ 其中$\mathbf{J}$为约束雅可比矩阵。

现代游戏引擎

现代的游戏物理引擎，主要是建立在多体系统动力学基础上，通过约束求解器求解系统运动状态变化的。